在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+c与x轴交于点A（-2，0）和点B，与y轴交于点C（0，23），线段AC上有

（1）把A（-2，0）和C（0，2
3）代入y=ax²+c得

0＝4a+c
c＝2
3，
解得

a＝−

3
2
c＝2
3．
∴抛物线的解析式为：y=-

3
2x²+2
3，
（2）在y=-

3
2x²+2
3中，
令y=0．则-

3
2x²+2
3=0，
解得，x₁=-2，x₂=2，
∴AB=4，
∵AP=t，AQ=4-2t，
在RT△AOC中，AO=2，OC=2
3，
∴AC=
AO2+OC2=
22+(2
3)2=4，
∴cos∠CAO=[AO/AC]=[1/2]，
①若∠APQ=90° 则cos∠CAO=cos∠PAQ，
∴[1/2]=[AP/AQ]，
∴[1/2]=[t/4−2t]，
解得t=1，
②若∠AQP=90°，则cos∠CAO=cos∠PAO，
∴[1/2]=[AQ/AP]，
∴[1/2]=[4−2t/t]，
解得t=[8/5]，
∴当t=1或t=[8/5]时，以A，P，Q为顶点的三角形与△AOC相似．
（3）如图1，作PN⊥AC，P′N⊥BC，垂足分别为P，P′，

∵抛物线的对称轴是y轴，
∴CO是∠ACB的角平分线，
∴NP=NP′，
作MQ⊥BC．P′H∥MN，
∴四边形MHP′N是平行四边形，
∴MH=NP′=NP，P′H=MN，
由（1）可知，∠CAO=60°，
∴∠OCB=∠OCA=30°，
∴∠CMQ=60°，
∴∠P′HQ=60°，
∴HQ=[1/2]P′H=[1/2]MN=[1/2]，
∴AM+NP=AM+MH=AQ-[1/2]＞AQ-[1/2]，
∴当AQ是BC边上的高时，M是AQ和y轴的交点，AM+NP有最小值，即AM+NP+MN有最小值，
如图2，作AD⊥BC于点D，

∵△ABC是正三角形，
∴∠DAB=30°，AO=2，
∴OM=
2
3
3，
∴m=
2
3
3，
∴CN=OC-ON=2
3-
2
3
3-1=
4
3
3-1
在RT△CPN中∠NCP=30°，
∴PC=2-

3
2，PN=[1/2]（
4
3
3-1）=
2
3
3-[1/2]
∴AP=4-（2-

3
2）=2+

3
2
∴t=2+

3
2，
∴AM+MN+NP的最小值=
4
3
3+1+
2
3
3-[1/2]=2
3+[1/2]．

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题主要考查了二次函数的综合题，解题的关键是根据图形证出M在什么位置时AM+NP+MN有最小值．