（2014•广安一模）已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右顶点的坐标分别为A（-2，0），B（2，0

解题思路：（Ⅰ）由椭圆的左、右顶点的坐标分别为A（-2，0），B（2，0），离心率e＝

1

2

，可得a，c的值，由此可得椭圆C的方程；
（Ⅱ）将直线l：y=k（x-1）代入椭圆C的方程

x2

4

+

y2

3

＝1，消去y并整理一元二次方程，设直线AM的方程，求得与直线x=4的交点坐标P，同理可求得直线BN与直线x=4的交点坐标Q，证明P，Q两点重合，即证明P，Q两点的纵坐标相等．

（Ⅰ）由题意，a=2，[c/a＝
1
2]，∴c=1，∴b²=a²-c²=3
∴椭圆C的方程为：
x2
4+
y2
3＝1；
（Ⅱ）证明：将直线l：y=k（x-1）代入椭圆C的方程
x2
4+
y2
3＝1，消去y并整理得（3+4k²）x²-8k²x+4（k²-3）=0．
设直线l与椭圆C交点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=
8k2
3+4k2，x₁x₂=
4(k2−3)
3+4k2．
直线AM的方程为：y=
y1
x1+2(x+2），它与直线x=4的交点坐标为P（4，
6y1
x1+2）
同理可求得直线BN与直线x=4的交点坐标为Q（4，
2y2
x2−2）．
下面证明P，Q两点重合，即证明P，Q两点的纵坐标相等．
∵y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
∴
6y1
x1+2-
2y2
x2−2=
2k[2x1x2−5(x1+x2)+8]
(x1+2)(x2−2)=
2k[
8(k2−3)
3+4k2−
40k2
3+4k2+8]
(x1

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．

考点点评： 本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆方程的求法，考查运算求解能力，推理论证能力，属于中档题．