（2012•重庆）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点．

解题思路：（Ⅰ）先根据条件得到CD⊥AB以及CC₁⊥CD，进而求出C的长即可；
（Ⅱ）解法一；先根据条件得到∠A₁DB₁为所求的二面角A₁-CD-B₁的平面角，再根据三角形相似求出棱柱的高，进而在三角形A₁DB₁中求出结论即可；
解法二：过D作DD₁∥AA₁交A₁B₁于D₁，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量的坐标，最后代入向量的夹角计算公式即可求出结论．

（Ⅰ）因为AC=BC，D为AB的中点，故CD⊥AB，
又直三棱柱中，CC₁⊥面ABC，故CC₁⊥CD，
所以异面直线CC₁和AB的距离为：CD=
BC2−BD2=
5．
（Ⅱ）解法一；由CD⊥AB，CD⊥BB₁，故CD⊥平面A₁ABB₁，
从而CD⊥DA₁，CD⊥DB₁，故∠A₁DB₁为所求的二面角A₁-CD-B₁的平面角．
因A₁D是A₁C在面A₁ABB₁上的射影，
又已知AB₁⊥A₁C，由三垂线定理的逆定理得AB₁⊥A₁D，
从而∠A₁AB₁，∠A₁DA都与∠B₁AB互余，
因此∠A₁AB₁=∠∠A₁DA，
所以RT△A₁AD∽RT△B₁A₁A，
因此
AA 1
AD=
A1B1
AA 1，得AA 12=AD•A₁B₁=8，
从而A₁D=
AA 12+AD2=2
3，B₁D=A₁D=2
3．
所以在三角形A₁DB₁中，cos∠A₁DB₁=
A1D2+DB 1

点评：
本题考点： 用空间向量求平面间的夹角；点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法．

考点点评： 本题主要考察异面直线间的距离计算以及二面角的平面角及求法．在求异面直线间的距离时，关键是求出异面直线的公垂线．