已知函数f(x)在[0,1]上可导,f(x)>0,f(0)=1,且在[0,1)满足 等式 f(x)-1/(x-1)∫(1

已知函数f(x)在[0,1]上可导,f(x)>0,f(0)=1,且在[0,1)满足 等式 f(x)-1/(x-1)∫(1,x)tf(t)dt=0,求函数f(x)
huangxiaoxue 1年前 已收到2个回答 举报
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jerry1211 幼苗

共回答了13个问题采纳率：84.6% 举报

变形得：(x-1)f(x)-∫(1,x)tf(t)dt=0,两边对x求导得：
f(x)+(x-1)f'(x)-xf(x)=0,即：f'(x)-f(x）=0,该方程的解为：f(x）=Ce^x
由f(0)=1得C=1,所以：f(x）=e^x

1年前

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谗猫牙牙 幼苗

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答案为：f(x)=e^x/[(x-1)^2]
化简得：（x-1)f(x)=∫(1,x)tf(t)dt，两边求导
xf'(x)+f(x)-f'(x)=-xf(x);
两边移动：（1+x)f(x)=(1-x)f'(x);
可得x-2ln|x-1|=ln|f(x)|+c
又因为 f(0)=1代入得C=0
得f(x)=e^x/[(x-1)^2]

1年前

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