已知函数f（x）=x2+2x，若存在实数t，当x∈[1，m]时，f（x+t）≤3x恒成立，则实数m的最大值为______

解题思路：由当x∈[1，m]时，f（x+t）≤3x恒成立，即设g（x）=f（x+t）-3x≤0恒成立，即要求g（1）≤0且g（m）≤0，解出t的范围，讨论m的取值即可得到m的最大值．

设g（x）=f（x+t）-3x=x²+（2t-1）x+（1+t）²-1，
由题值f（x+t）-3x≤0恒成立
即g（1）≤0且g（m）≤0分别解得：
t∈[-4，0]，m²+（2t-1）m+（t+1）²-1≤0，
即当t=-4时，得到m²-9m+8≤0，解得1≤m≤8；当t=0时，得到m²-m≤0，解得0≤m≤1
综上得到：m∈（1，8]，所以m的最大值为8
故答案为：8．

点评：
本题考点： 函数的最值及其几何意义．

考点点评： 考查学生理解函数恒成立时取条件的能力．灵活运用二次函数求最值的方法的能力，考查分析解决问题的能力和运算能力．属中档题．

直接代入算
f（x+t）小于等于3x=====》x^2+x(2t-1)+t^2+2t<=0
因为这是二次函数 要当x€[1,m]时一定满足，那么最大情况就是1，m是x^2+x(2t-1)+t^2+2t=0的两个根 代1算出t=-4 再算m=8

画图解