猫宝_贝 幼苗
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(1)显然f(x)的定义域是R,关于原点对称.
又∵函数对一切x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y),
∴令x=y=0,得f(0)=2f(0),∴f(0)=0.
再令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x),
∴f(-x)=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
(2)∵f(-3)=a且f(x)为奇函数,
∴f(3)=-f(-3)=-a.
又∵f(x+y)=f(x)+f(y),x、y∈R,
∴f(12)=f(6+6)=f(6)+f(6)=2f(6)=2f(3+3)=4f(3)=-4a.
故f(12)=-4a.
(3)任取x1<x2,x2-x1>0,则f(x2-x1)>0
∴f(x2)+f(-x1)>0;
对f(x+y)=f(x)+f(y)取x=y=0得:f(0)=0,
再取y=-x得f(x)+f(-x)=0即f(-x)=-f(x),
∴有f(x2)-f(x1)>0
∴f(x2)>f(x1)
∴f(x)在R上是增函数.
点评:
本题考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明;函数的值.
考点点评: 本题考点是抽象函数及其性质,在研究其奇偶性时本题采取了连续赋值的技巧,这是判断抽象函数性质时常用的一种探究的方式,属于中档题.在求值和证明过程中应该体会抽象函数恒等式的用法规律,根据恒等式的结构把已知用未知表示出来.
1年前
1.已知函数F(x)定义实数集R上为偶函数,且对任意实数X都有
1年前2个回答
你能帮帮他们吗