已知三角形ABC中,AB=BC,角B=90度,E为BC边上任意一点,AE垂直于EF,FC垂直于AC.求证AE=EF

证明： 点F不可能在AE左侧,如果在左侧的话FC不可能垂直于AC
所以点F在AE右侧
过点F作BC的垂线交BC的延长线于点D
∵ ∠BAE+∠AEB=90° ∠FED+∠AEB=90
∴ ∠BAE=∠FED
∴ △ABE∽△EDF
设AB=y,BE=x 且由于 CD=FD
则 EC=y-x , ED=y-x+FD
∵ AB/BE=ED/DF
∴ y/x=(y-x+FD)/FD 即 FD^2+(y-x)FD-xy=0 亦即 (FD-x)(FD+y)=0
∴ FD=x 即 FD=BE
∴ △ABE≌△EDF
∴ AE=EF