如图，点A是以线段BC为直径的圆O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作圆O的切线，与CA的延长线相交于点E，点G是AD的中

解题思路：（1）利用平行线截三角形得相似三角形，得△BFC∽△DGC且△FEC∽△GAC，得到对应线段成比例，再结合已知条件可得BF=EF；
（2）利用直角三角形斜边上的中线的性质和等边对等角，得到∠FAO=∠EBO，结合BE是圆的切线，得到PA⊥OA，从而得到PA是圆O的切线．

证明：（1）∵BC是圆O的直径，BE是圆O的切线，∴EB⊥BC．
又∵AD⊥BC，∴AD∥BE．
可得△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC．
∴[BF/DG＝
CF
CG，
EF
AG＝
CF
CG]，得[BF/DG＝
EF
AG]．
∵G是AD的中点，即DG=AG．
∴BF=EF．
（2）连接AO，AB．
∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°．
由（1）得：在Rt△BAE中，F是斜边BE的中点，
∴AF=FB=EF，可得∠FBA=∠FAB．
又∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO．
∵BE是圆O的切线，
∴∠EBO=90°，得∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°，
∴PA⊥OA，由圆的切线判定定理，得PA是圆O的切线．

点评：
本题考点： 与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．

考点点评： 本题求证直线是圆的切线，着重考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质和圆的切线判定定理等知识，属于中档题．

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