已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c均为实数），满足a-b+c=0，对于任意实数x 都有f

解题思路：（1）根据x≤f （x）≤(

x+1

2

)2，令x=1，得到1≤f （1）≤(

1+1

2

)2，进而确定f（1）的值．
（2）由a-b+c=0及f （1）=1得b=a+c=[1/2]，则f（x）-x≥0，即ax²-[1/2]x+c≥0，只需满足a＞0且△≤0．从而得出ac≥[1/16]；
（3）a+c取得最小值时，a=c=[1/4]，，F（x）=f（x）-mx=[1/4][x²+（2-4m）x+1]．由f（x）是单调的，F（x）的顶点一定在[-2，2]的外边．推出|

2−4m

2

|≥2，解得m的范围即可．

（1）∵对于任意x∈R，都有f（x）-x≥0，且当x∈（0，2）时，
有f（x）≤(
x+1
2)2．令x=1
∴1≤f（1）≤(
1+1
2)2．
即f （1）=1．
（2）由a-b+c=0及f （1）=1．
有

a−b+c＝0
a+b+c＝1，可得b=a+c=[1/2]．
又对任意x，f（x）-x≥0，即ax²-[1/2]x+c≥0．
∴a＞0且△≤0．
即[1/4]-4ac≤0，解得ac≥[1/16]．
（3）由（2）可知a＞0，c＞0．
a+c≥2
ac≥2•

1
16=[1/2]．
当且仅当

a＝c





a+c＝
1
2时等号成立．此时
a=c=[1/4]．
∴f （x）=[1/4]x²+[1/2]x+[1/4]，
F （x）=f （x）-mx=[1/4][x²+（2-4m）x+1]．
当x∈[-2，2]时，f （x）是单调的，所以F （x）的顶点一定在[-2，2]的外边．
∴|
2−4m
2|≥2．
解得m≤-[1/2]或m≥[3/2]．

点评：
本题考点： 函数恒成立问题；函数的值；二次函数的性质．

考点点评： 本题考查了二次函数的性质，函数的恒成立问题，以及不等式的证法，属于中档题．