在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,E、F、G分别是AB、AC、BC的中点,M是DG的中点,求证：ME=MF

在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,E、F、G分别是AB、AC、BC的中点,M是DG的中点,求证：ME=MF.
900506 1年前 已收到2个回答 举报
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hantaki 幼苗

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证明：
连接EG、FD,
由于M为GD中点,即GM=MD
在直角三角形ACD中,点F为斜边中点,所以DF=0.5AC=FC
由题意得EG为三角形中位线,所以FG=0.5AC,角C=角BGE
所以EG=FD,
又由FD=FC得,角C=角FDC,
所以角FDC=角EGB,角EGM=角FDM,
由上可得三角形EGM全等于三角形FDM,
所以ME=MF.

1年前

6

木子召 幼苗

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连接EG，DF

∵E、G是AB、BC中点

∴中位线定理：EG=1/2AC

EG∥AC

∴∠BEG=∠BAC=90°

∵AD⊥BC，F的AC中点

∴根据直角三角形斜边中线定理：DF=1/2AC=AF

即∠CAD=∠ADF

∴EG=DF

∵∠CAD=90°-∠C

∠B=90°-∠C

∴∠ADF=∠CAD=∠B

∵∠MDF=∠ADB+∠ADF=90°+∠ADF

∠EGM=∠BEG+∠B=90°+∠B=90°+∠ADF

∴∠MDF=∠EGM

∵M是DG的中点，即GM=DM

EG=DF

∠MDF=∠EGM

∴△EGM≌△FDM(SAS)

∴ME=MF.

1年前

2
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