若不等式|a-1|≥x+2y+2z，对满足x2+y2+z2=1的一切实数x、y、z恒成立，则实数a的取值范围是_____

解题思路：不等式|a-1|≥x+2y+2z恒成立，只要|a-1|≥（x+2y+2z）max，利用柯西不等式9=（1²+2²+2²）•（x²+y²+z²）≥（1•x+2•y+2•z）²求出x+2y+2z的最大值，再解关于a的绝对值不等式即可．

由柯西不等式9=（1²+2²+2²）•（x²+y²+z²）≥（1•x+2•y+2•z）²
即x+2y+2z≤3，当且仅当


x
1＝
y
2＝
z
2＞0
x2+y2+z2＝1
即 x＝
1

5，y＝
2

5，z＝
2

5时，x+2y+2z取得最大值3．
∵不等式|a-1|≥x+2y+2z，对满足x²+y²+z²=1的一切实数x，y，z恒成立，
只需|a-1|≥3，解得a-1≥3或a-1≤-3，∴a≥4或∴a≤-2．
即实数的取值范围是（-∞，-2]∪[4，+∞）．
故答案为：a≥4或a≤-2．

点评：
本题考点： 柯西不等式在函数极值中的应用．

考点点评： 本题考查柯西不等式的应用，考查运算能力和运用所学知识解决问题的能力．

解法如下：