【选修4-5：不等式选讲】已知实数x，y，z满足x2+y2+z2=1．（Ⅰ）求x+2y+2z的取值范围；（Ⅱ）若不等式|

解题思路：（I）由柯西不等式可得9=（1²+2²+2²）（x²+y²+z²）≥（1×x+2×y+2×z）²，即可得出x+2y+2z的取值范围．
（II）不等式|a-3|+

a

2

≥x+2y+2z对一切实数x，y，z恒成立⇔|a-3|+

a

2

≥(x+2y+2z)max，再对a分类讨论即可得出．

（I）由柯西不等式可得9=（1²+2²+2²）（x²+y²+z²）≥（1×x+2×y+2×z）²，
∴-3≤x+2y+2z≤3，当且仅当


x
1=
y
2=
z
2
x2+y2+z2=1，即y=z=2x=
2
3时，右边取等号；同理当且仅当y=z=2x=-
2
3时左边取等号．
（II）由（I）可知：-3≤x+2y+2z≤3，∴（x+2y+2z）_max=3．
∴不等式|a-3|+
a
2≥x+2y+2z对一切实数x，y，z恒成立⇔|a-3|+
a
2≥(x+2y+2z)max=3．
∴

a≥3
a-3+
a
2≥3或

a＜3
3-a+
a
2≥3，
解得a≥4或a≤0．

点评：
本题考点： 柯西不等式在函数极值中的应用．

考点点评： 本题考查了柯西不等式的应用、含绝对值不等式的解法、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于中档题．