已知n阶矩阵A满足A2=KA (k不为零)试证：A相似于对角阵.

语疯疯 1年前 已收到2个回答 举报
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lubeng57 幼苗

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楼上的解答不正确,k是一个特征值但怎么知道0就不是特征值呢.事实上A不一定满秩.
可以用最小多项式解决.由A2-KA=0知道x^2-kx=0是A的零化多项式.而最小多项式是它的因式所以最小多项式为x或x-k或x*（x-k）.
最小多项式为x时,A=0.
为x-k时,A=kE,是对角阵.
为x（x-k）,（k不为0）时,根据可对角化当且仅当最小多项式是不同的一次因式的乘知A可对角化.

1年前

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雪游影 幼苗

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考虑A的列向量a1,a2,...,an。
A^2=kA，如果只看第一行的话我们有a1*A=k*a1，也就是说a1是A的一个特征向量。
同理a2,...,an也是A的特征向量，而且特征值为非0数k，所以A是满迭的。
A^(-1)*A*A=A^(-1)*k*A=kE，根据相似定义可以知道A相似于对角阵kE。

1年前

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