如果n级方阵A满足A^2-5A+6E=0,证明：A为可逆矩阵,A相似于一个对角矩阵

liuhb6 1年前已收到1个回答举报

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A^2-5A+6E=0,
故(A-3E)(A-2E)=0
故A的特征值只可能为3,或2,故A可逆.
同时,故r(A-3E)+r(A-2E)=r(A-3E-(A-2E))=n
故r(A-3E)+r(A-2E)=n
特征值3对应的线性无关的特征向量有n-r(A-3E)个.
特征值2对应的线性无关的特征向量有n-r(A-2E)个.
故A的线性无关的特征向量一共有n-r(A-3E)+n-r(A-2E)=n个,故A可以对角化.

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