一道数学题!300积分!如图:已知AB=1,点C为线段AB上的一个动点,分别以AC和BC为边在直线AB的同侧作正方形AC

班长好,这个问题分三个答案.
（1）∠DCF=90°时,点F与点B重合,所以不存在这个可能性
（2）∠CDF=90°时,∠DCB=90°,∠FCB=60°,∴∠DCF=30°,∴2DF=CF（推1）,DF=x/2,∴CD²+DF²=CF²,（x/2）²+y²=x² y=√3x/2 ∵y+x=1,∴√3x/2+x=1 ∴x=BC=4-2√3
（3）∠CFD=90°时,之前同上.∴CF²+DF²=CD²,（x/2）²+x²=y² ∴y=√5x/2 ∵y+x=1 ∴√5x/2+x=1 ∴x=BC=2√5-4
不要积分也可以

设BC=X
显然CD=AC=1-X DF=1/2 BC=1/2 X CF=X
由勾股定理
CF^2=DF^2+CD^2
X^2=(1/2 X)^2+(1-X)^2
X^2=X^2/4+1-2X+X^2
X^2-8X+4=0
(X-4)^2=8
X=-2根号2+4 (X=2根号2+4舍去)

如图。直角三角形CDF中，∠DCF=30°，分两种情况计算。

1、∠CDF=90°，由y=x√3/2，x+y=BC+AC=1

得x+x√3/2=1，解得x=2/(2+√3)=2(2-√3)≈0.536，

即BC约0.536 。

2、∠CFD=90°,由x=y√3/2，x+y=BC+AC=1

得y+y√3/2=1，解得y=2/(2+√3)=2(2-√3)，x=2√3-3≈0.464，

即BC约0.464 。