（2010•苏州模拟）已知半椭圆x2b2+y2a2＝1 (y≥0)和半圆x2+y2=b2（y≤0）组成曲线C，
（2010•苏州模拟）已知半椭圆| x2 |
| b2 |
| y2 |
| a2 |
| x2 |
| b2 |
| y2 |
| a2 |
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
（1）求曲线C的方程；
（2）连PC、PD交AB分别于点E、F，求证：AE2+BF2为定值．
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解题思路：（1）由题设条件知(
)2+(−
)2＝b2，所以b=1，由此可知半圆x2+y2=b2（y≤0）在点M处的切线与直线AG平行，所以OM⊥AG，kAG＝
＝
，所以a＝
，所以曲线C的方程为x2+
＝1 (y≥0)或x2+y2=1（y≤0）．
（2）设P（x0，y0），则有直线PC的方程为y−
＝
(x−1)，令y=0，得B1，所以AE＝2−
；直线PD的方程为y−
＝
(x+1)，令y=0，得xF＝−1−
，BF＝2+
．由此入手能够推导出AE2+BF2为定值．
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
| 2 |
| a |
| b |
| 2 |
| y2 |
| 2 |
（2）设P（x0，y0），则有直线PC的方程为y−
| 2 |
y0−
| ||
| x0−1 |
| ||
y0−
|
| 2 |
y0−
| ||
| x0+1 |
| ||
y0−
|
| ||
y0−
|
（1）已知点M(
6
3，−
3
3)
在半圆x2+y2=b2（y≤0）上，
所以(
6
3)2+(−
3
3)2＝b2，又b＞0，
所以b=1，当半圆x2+y2=b2（y≤0）
在点P处的切线与直线AG平行时，
点P到直线AG的距离最大，
此时△AGP的面积取得最大值，
故半圆x2+y2=b2（y≤0）
在点M处的切线与直线AG平行，
所以OM⊥AG，又kOM＝
yM−0
xM−0＝−
2
2，
所以kAG＝
2＝
a
b，又b=1，所以a＝
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；圆的标准方程；椭圆的标准方程．
考点点评： 本题考查圆锥曲线的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答．
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