观察下面的变形规律： 1 1×2 =1- 1 2 ； 1 2×3 = 1 2 - 1 3 ； 1 3×4 = 1 3 -
观察下面的变形规律：
解答下面的问题： （1）若n为正整数，请你猜想
（2）证明你猜想的结论； （3）求和：
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（1）由
1
1×2 =
1
1 -
1
2 ；
1
2×3 =
1
2 -
1
3 ；
1
3×4 =
1
3 -
1
4 ，…则：
1
n(n+1) =
1
n -
1
n+1 ；
（2）
1
n -
1
n+1 =
n+1
n(n+1) -
n
n(n+1) =
n+1-n
n(n+1) =
1
n(n+1) ；
（3）
1
1×2 +
1
2×3 +
1
3×4 +…+
1
2009×2010
=1-
1
2 +
1
2 -
1
3 +
1
3 -
1
4 +…+
1
2009 -
1
2010
=1-
1
2010
=
2009
2010 ．
1
1×2 =
1
1 -
1
2 ；
1
2×3 =
1
2 -
1
3 ；
1
3×4 =
1
3 -
1
4 ，…则：
1
n(n+1) =
1
n -
1
n+1 ；
（2）
1
n -
1
n+1 =
n+1
n(n+1) -
n
n(n+1) =
n+1-n
n(n+1) =
1
n(n+1) ；
（3）
1
1×2 +
1
2×3 +
1
3×4 +…+
1
2009×2010
=1-
1
2 +
1
2 -
1
3 +
1
3 -
1
4 +…+
1
2009 -
1
2010
=1-
1
2010
=
2009
2010 ．
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