泰勒公式求极限 倒数第二步下面(1/x)*ln(1-x) x趋于0的极限不是-1么.他怎么算成e^-1

是-1,这解答错了,很明显lim(x->0)(1-x)^(1/x)=e^(-1),而lim(x->0)ln(1-x)^(1/x)=lne^(-1)=-1,
用罗比达法则,lim(x->0)ln(1-x)^(1/x)=lim(x->0)ln(1-x)/x=lim(x->0)1/(1-x)*(-1)=-1/(1-0)=-1
所以这题展开到四次还不够,因为它将分母弄错了.
具体要展开到哪里,在你不确定的情况下,你可以先多使用几次罗比达法则,在罗比达法则使用起来比较麻烦的时候,再用泰勒公式,一般这时都能明确展开到几阶.
对于这题,分母先用泰勒公式展开：
ln(1-x)=-x-1/2(-x)^2+1/3(-x)^3-1/4(-x)^4+o(x^4),
x²ln(1-x)=-x³-1/2x^4-1/3x^5-1/4x^6+o(x^6),
x³+x²ln(1-x)=-1/2x^4-1/3x^5-1/4x^6+o(x^6),
再看分子,其实分母展开到x^2就够了,因为分子中x^4项的系数已经不为0了
cosx-e^(-x²/2)=[1-1/2!x²+1/4!x^4+o(x^4)]-[1-x²/2+1/2!(-x²/2)^2+o(x^4)]=-1/12x^4+o(x^4)
所以原极限=lim(x->0)[-1/12x^4+o(x^4)]/[-1/2x^4-1/3x^5-1/4x^6+o(x^6)]=1/6.