如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA∥BC，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（4，3），点C在y轴的
| 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA∥BC，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（4，3），点C在y轴的正半轴上．动点M在OA上运动，从O点出发到A点；动点N在AB上运动，从A点出发到B点，两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒）。 （1）求线段AB的长；当t为何值时，MN∥OC？ （2）设△CMN的面积为S，求S与t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？ （3）连接AC，那么是否存在这样的t，使MN与AC互相垂直？若存在，求出这时的t值；若不存在，请说明理由。 |
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赞 夜正阑珊 幼苗
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（1）过点B作BD⊥OA于点D，则四边形CODB是矩形，
BD=CO=4，OD=CB=3，DA=3，
在Rt△ABD中，
，
当MN∥OC时，MN∥BD，
∴△AMN∽△ADB，
，
∵AN=OM=t，AM=6-t，AD=3，
∴
，即t=
（秒）；
（2）过点N作NE⊥x轴于点E，交CB的延长线于点F，
∵NE∥BD，
∴△AEN∽△ADB，
，
即
∵EF=CO=4，
∴FN=4-
，
∵
，
∴
，
即
（0≤t≤5），
由
，得
，
∴当t=4时，S有最小值，且S 最小 =
；
（3）设存在点P使MN⊥AC于点P，
由（2）得AE=
，NE=
，
∴ME=AM-AE=
，
∵∠MPA=90°，
∴∠PMA+∠PAM=90°，
∵∠PAM+∠OCA=90°，
∴∠PMA=∠OCA，
∴△NME∽△ACO
∴NE：OA=ME：OC
∴
解得t=
∴存在这样的t，且t=
。 
BD=CO=4，OD=CB=3，DA=3，
在Rt△ABD中，
，当MN∥OC时，MN∥BD，
∴△AMN∽△ADB，
，∵AN=OM=t，AM=6-t，AD=3，
∴
，即t=
（秒）；（2）过点N作NE⊥x轴于点E，交CB的延长线于点F，
∵NE∥BD，
∴△AEN∽△ADB，
，即
∵EF=CO=4，
∴FN=4-
，∵
，∴
，即
（0≤t≤5），由
，得
，∴当t=4时，S有最小值，且S 最小 =
；（3）设存在点P使MN⊥AC于点P，
由（2）得AE=
，NE=
，∴ME=AM-AE=
，∵∠MPA=90°，
∴∠PMA+∠PAM=90°，
∵∠PAM+∠OCA=90°，
∴∠PMA=∠OCA，
∴△NME∽△ACO
∴NE：OA=ME：OC
∴
解得t=
∴存在这样的t，且t=
。 
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