A,B为n阶方阵,当E+AB可逆时,能否证明E+BA也可逆?

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因为A,B为n阶方阵,当E+AB可逆,故(E+AB)^-1存在.
因此
(E+BA)(E-B[(E+AB)^-1]A)
=E+BA-(E+BA)B[(E+AB)^-1]A
=E+BA-(BE+BAB)[(E+AB)^-1]A
=E+BA-B(E+AB)[(E+AB)^-1]A
=E+BA-BA
=E
同理(E-B[(E+AB)^-1]A)(E+BA)=E
所以E+BA也可逆,且(E+BA)^-1=E-B[(E+AB)^-1]A.

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