圆覆盖正方形问题的数学模型一个1000×1000的正方形区域,用若干个半径为100的圆来覆盖,相临两个圆的公共面积不能小

可以把这些圆看成若干个外接圆半径为100的正多边形.题目改成用正多边形覆盖,先不考虑大小,只考虑形状,试来试去,只有正三角形、正方形和正六边形的形状可以考虑,正五边形、七边形、八边形……明显都白白浪费了很多交盖面积.
再把这些正多边形外围分别套上它们的外接圆,看看圆面积的浪费情况怎样.正三角形显然比正方形和正六边形浪费.
所以,只剩下正方形和正六边形可以考虑.刚才这些筛选多边形的步骤,不需要计算,只需要画草图目测一下就可以鉴别了.
若干个正方形套上外接圆拼在一起,浪费的公共面积显然还是要比正六边形多,所以,世上最节省的方案实际上是正六边形,但是出题的人为了照顾你们,故意限定“相邻两个圆的公共面积不能小于圆面积的8%”
从这一步开始才需要计算.计算得出相邻两个正六边形套上外接圆后,交盖面积只有5.8%,所以出题的人“指引”你们用正方形套上外接圆去覆盖.
把边长1000的大正方形划分成25个边长200的小方格
有两种覆盖法:
法一:把每个小方格都用一个圆填上,留下的空隙再用别的圆填上,这样用了25+36=61个圆
法二:让每个圆的直径与每小方格的边重合,这样用了5×6×2=60个圆,更省.
再回顾一下,为什么法二比法一省:在大正方形内部,浪费的公共面积是一样大的.区别在大正方形外围的一圈“花边”,法一的花边比法二多消耗了1个圆.