（2013•烟台二模）已知函数f（x）=ax-[2a/x]-61nx在x=2处取得极值．

（1）函数的定义域为（0，+∞）
求导函数可得f′(x)＝
ax2−6x+2a
x2
∵函数f（x）=ax-[2a/x]-61nx在x=2处取得极值，
∴f′（2）=0，即
a•22−6•2+2a
22=0，∴a=2
当a=2时，f′(x)＝
2x2−6x+4
x2＝
2(x−1)(x−2)
x2
x∈（1，2）时，f′（x）＜0；x∈（2，+∞），f′（x）＞0
∴函数f（x）在x=2处取得极值，∴a=2；
（2）由（1）知f(x)＝2x−
4
x−6lnx，f′(x)＝
2(x−1)(x−2)
x2
∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1）上是增函数；当x∈（1，2）时，f′（x）＜0，f（x）在（1，2）上是减函数
∴f（x）在（0，2）上的最大值为f（1）=-2
∵g（x）=（x-3）e^x-m，∴g′（x）=（x-2）e^x≥0在[2，3]上恒成立
∴g（x）在[2，3]上单调递增，其值域为[-e²-m，-m]
∵对任意x₁∈（0，2），x₂∈[2，3]，总有f（x₁）-g（x₂）≤0成立，
∴f（x）_max≤g（x）_min，
∴-2≤-e²-m
∴m≤2-e²．

点评：
本题考点： 函数模型的选择与应用；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查恒成立问题，对任意x1∈（0，2），x2∈[2，3]，总有f（x1）-g（x2）≤0成立，转化为f（x）max≤g（x）min，是解题的关键．