（2013•烟台一模）设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆y2a2+x2b2＝1(a＞b＞0)上的两点，已知向量m
（2013•烟台一模）设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆
+
＝1(a＞b＞0)上的两点，已知向量
=（
，
），
=（
，
），若
•
=0且椭圆的离心率e=
，短轴长为2，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．
| y2 |
| a2 |
| x2 |
| b2 |
| m |
| x1 |
| b |
| y1 |
| a |
| n |
| x2 |
| b |
| y2 |
| a |
| m |
| n |
| ||
| 2 |
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．
赞 JosonWu 幼苗
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解题思路：（1）依题意可求得b，进而根据离心率求得a，则椭圆方程可得．
（2）先看当直线AB斜率不存在时，即x1=x2，y1=y2，根据
•
=0代入求得x12-
=0把点A代入椭圆方程，求得A点横坐标和纵坐标的绝对值，进而求得△AOB的面积的值；当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+b与椭圆方程联立消去y，根据伟大定理求得x1+x2和x1x2的表达式代入
•
=0中整理可求得2b2-k2=4代入三角形面积公式中求得求得△AOB的面积的值为定值．最后综合可得答案．
（2）先看当直线AB斜率不存在时，即x1=x2，y1=y2，根据
| m |
| n |
| ||
| 4 |
| m |
| n |
（1）依题意知2b=2，∴b=1，e=[c/a]=
a2−b2
a=
3
2
∴a=2，c=
a2−b2=
3
∴椭圆的方程为
y2
4+x2＝ 1
（2）①当直线AB斜率不存在时，即x1=x2，y1=-y2，
∵
m•
n=0
∴x12-
y21
4=0
∴y12=4x12
又A（x1，y1）在椭圆上，所以x12+
4
x
点评：
本题考点： 椭圆的应用；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．
考点点评： 本题主要考查了椭圆的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力．
1年前
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