subrinajiang 花朵
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(Ⅰ)∵f(x)=(x2-3x+3)ex,x∈[-2,t](t>-2),
∴f′(x)=(2x-3)ex+ex(x2-3x+3)=exx(x-1).
①当-2<t≤0时,x∈(-2,t),f′(x)>0,f(x)单调递增.
②当0<t<1时,x∈(-2,0),f′(x)>0,f(x)单调递增.
x∈(0,t),f′(x)<0,f(x)单调递减.
综上所述,当-2<t≤0时,y=f(x)单调递增区间为(-2,t);
当0<t<1时,y=f(x)单调递增区间为(-2,0),减区间为(0,t).
(Ⅱ)f(t)>f(-2).
证明:令m=f(-2),n=f(t),则m=13e-2,n=(t2-3t+3)et,
设h(t)=n-m=(t2-3t+3)et-13e-2,
∴h′(t)=(2t-3)et+et(t2-3t+3)
=ett(t-1),(t>-2).
h(t),h′(t)随t变化如下表:
由上表知h(t)的极小值为h(1)=e-
13
e2=
e3−13
e2>0.
又h(-2)=0,
∴当t>-2时,h(t)>h(-2)>0,即h(t)>0.
因此,n-m>0,即n>m,
所以f(t)>f(-2).
(Ⅲ)g(x)=(x2-3x+3)ex+(x-2)ex=(x2-2x+1)ex=(x-1)2 ex,
g′(x)=(2x-2)ex+ex(x2-2x+1)=ex(x2-1),
设x>1时,g(x)存在保值区间,即存在[a,b],使y=g(x)在[a,b]上的值域也是[a,b].
因为x>1时,g′(x)>0,所以y=g(x)单调递增.
故应有
g(a)=(a−1)2ea=a
g(b)=(b−1)2eb=b,
即方程(x-1)2ex=x有两个大于1的不等根,
设φ(x)=(x-1)2ex-x,(x>1),
φ′(x)=ex(x2-1)-1,
设k(x)=ex(x2-1)-1,(x>1),k′(x)=ex(x2+2x-1),
当x>1时,k′(x)>0,即k(x)在(1,+∞)递增,
又k(1)=-1<0,k(2)=3e2-1>0.
∴x∈(1,2)时存在唯一的x0,使k(x0)=0.
即存在唯一的x0,使φ′(x0)=0.
φ(x),φ′(x)随x的变化如下表:
由上表知,φ(x0)<φ(1)=-1<0,
φ(2)=e2-2>0,
故y=φ(x)的大致图象如图,
因此φ(x)在(1,+∞)只能有一个零点,
这与φ(x)=0有两个大于1的不等根矛盾,
故不存在区间[a,b]满足题意,即函数g(x)不存在保值区间.
点评:
本题考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性;不等关系与不等式.
考点点评: 本题考查函数的单调区间的求法,考查不等式的证明,探索满足条件的区间是否存在.综合性强,难度大,具有一定的探索性,对数学思维的要求较高,解题时要认真审题,仔细解答,注意导数性质的灵活运用
1年前
已知二次函数y=x2-3x+2的图像如图,则不等式x2-3x+2
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