已知a>0,b>0,c>0,abc=1,求1/(a^3(b+c))+1/(b^3(a+c))+1/(c^3(a+b))的

已知a>0,b>0,c>0,abc=1,求1/(a^3(b+c))+1/(b^3(a+c))+1/(c^3(a+b))的最小值 用柯西不等式解
伸个懒腰晒太阳 1年前 已收到4个回答 举报
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kkndand 春芽

共回答了17个问题采纳率：82.4% 举报

1/(a^3(b+c))+1/(b^3(a+c))+1/(c^3(a+b))
=(bc)^2/(ab+ac)+(ac)^2/(ab+bc)+(ab)^2/(ac+bc)
>=(bc+ac+ab)^2/(2ab+2bc+2ca) //这里用柯西得到
=(1/2)*(ab+bc+ac)
>=(3/2)*(abc)^(2/3) //均值不等式
=3/2
等号可以取到

1年前

4

mm达达 幼苗

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1/a^3(b+c)+1/b^3(a+c)+1/c^3(a+b)
=(bc)^2/(ab+ac)+(ac)^2/(ab+bc)+(ab)^2/(ac+bc)
柯西得>=(bc+ac+ab)^2/2(ab+bc+ac)=(ab+bc+ac)/2
>=(1/2)*3(abc)^(2/3)=3/2
最后一步是均值。

1年前

1

未必沦落 幼苗

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由于1/a^3(b+c)=abc/a^2(ab+bc)=1/a^2(1/b+1/c)令x=1/a,y=1/b,z=1/c,又由于abc=1，a、b、c∈R+，有xyz=1,且x、y、z∈R+，于是只需证明x^2/(y+z)+y^2/(x+z)+z^2/(x+y)≥3/2.因为x^2/(y+z)+(y+z)/4≥x,y^2/(x+z)+(x+z)/4≥y,z^2/(x+y)+(x+y)/4≥z,以上...

1年前

1

cc的宝贝 春芽

共回答了21个问题采纳率：85.7% 举报

1/(a^3(b+c))+1/(b^3(a+c))+1/(c^3(a+b))
=(bc)^2/(ab+ac)+(ac)^2/(ab+bc)+(ab)^2/(ac+bc)
>=(bc+ac+ab)^2/(2ab+2bc+2ca)
=(1/2)*(ab+bc+ac)
>=(3/2)*(abc)^(2/3)
=3/2
等号可以取到

1年前

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