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旧新花样
1、首先求偏导数: f 'x(0,0)=lim[Δx-->0] (f(Δx,0)-f(0,0))/Δx=lim[Δx-->0] Δxsin(1/|Δx|)=0 同理:f'y(0,0)=0 下面看函数的全增量: Δz=f(Δx,Δy)-f(0,0)=(Δx²+Δy²)sin[1/√(Δx²+Δy²)] 然后看全增量与全微分的差是否ρ的高阶无穷小 Δz-f 'x(0,0)Δx-f 'y(0,0)Δy=Δz-0-0=(Δx²+Δy²)sin[1/√(Δx²+Δy²)]=ρ²sin(1/ρ) lim[ρ-->0] ρ²sin(1/ρ)/ρ=ρsin(1/ρ)=0 因此Δz-f 'x(0,0)Δx-f 'y(0,0)Δy是ρ的高阶无穷小,所以函数在(0,0)可微。 2、f'x(x,y)=2xsin[1/√(x²+y²)]-(x²+y²)cos[1/√(x²+y²)]*x/(x²+y²)^(3/2) =2xsin[1/√(x²+y²)]-x/√(x²+y²)cos[1/√(x²+y²)] x²+y²≠0 同理:f'y(x,y)=2ysin[1/√(x²+y²)]-y/√(x²+y²)cos[1/√(x²+y²)] x²+y²≠0 下面看偏导数在(0,0)是否连续,也就是看当x-->0,y-->0时,f'x(x,y)与f'y(x,y)的极限是否为0. 只算其中一个就行了 lim[x-->0,y-->0] 2xsin[1/√(x²+y²)]-x/√(x²+y²)cos[1/√(x²+y²)] 这个极限的前一项显然极限存在,主要看后一项 令(x,y)沿y=kx趋于0,上式后半部分的极限为: lim[x-->0] -x/√(x²+k²x²)cos[1/√(x²+k²x²)] =lim[x-->0] ±1/√(1²+k²)cos[1/√(x²+k²x²)] 前面的系数±1/√(1²+k²)非0,后面的余弦是振荡的,因此极限不存在。 所以fx'(x,y)在(0,0)极限不存在,因此偏导数不连续。