已知函数f（x）=ax2+lnx（x＞0）．

已知函数f（x）=ax²+lnx（x＞0）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）当a=0时，斜率为k的直线与曲线y=f（x）交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）两点，求证：x1＜

＜x2．

fjzlc2003 1年前已收到1个回答举报

风飞darlin 幼苗

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解题思路：（Ⅰ）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），讨论a的正负，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）欲证x1＜

＜x2，将k用

lnx2−lnx1

x2−x1]代换，转化成 ⇔1−

＜ln

＜

−1，令

＝t(t＞1)，即证1−

＜lnt＜t−1，然后利用导数研究研究单调性即可证得．

（Ⅰ）f′(x)=
2ax2+1
x（x＞0）
（1）a≥0时，f'（x）＞0恒成立，故f（x）在（0，+∞）上单调递增
（2）当a＜0时，由f′(x)＞0⇒x＜
-
1
2a，由f′(x)＜0⇒x＞
-
1
2a
考虑到x＞0，得f（x）在(0，
-
1
2a)上单调递增，在(
-
1
2a，+∞)上单调递减．
（Ⅱ）a=0时，f(x)=lnx，k=
lnx2-lnx1
x2-x1，不等式x1＜
1
k＜x2⇔x1＜
x2-x1
lnx2-lnx1＜x2⇔1-
x1
x2＜ln
x2
x1＜
x2
x1-1，令
x2
x1=t(t＞1)，即证1-
1
t＜lnt＜t-1（8分）
由于t＞1，令g（t）=lnt+
1
t⇒g′(t)=
1
t-
1
t2=
t-1
t2＞0，所以g（t）＞g（1）=1，
即不等式lnt＞1-
1
t成立，令h(t)=lnt-t⇒h′(t)=
1
t-1＜0⇒h(t)＜h(1)=-1
即lnt＜t-1，所以，不等式1-[1/t＜lnt＜t-1成立，即得原不等式成立（14分）

点评：
本题考点：利用导数研究函数的单调性；不等式的证明．

考点点评：本题主要考查了不等式的证明，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查计算能力和分析问题的能力，属于基础题．

1年前

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