请阅读下列材料：实际问题：如图（1），一圆柱的底面半径为5厘米，BC是底面直径，高AB为5厘米，求一只蚂蚁从点A出发沿圆

请阅读下列材料：
实际问题：如图（1），一圆柱的底面半径为5厘米，BC是底面直径，高AB为5厘米，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线．
解决方案：
路线1：侧面展开图中的线段AC，如图（2）所示，设路线l的长度为l1：则l12=AC2=AB2+BC2=52+（5π）2=25+25π2
路线2：高线AB+底面直径BC，如图（1）所示．
设路线2的长度为l2：则l2=AB+BC=5+10=15，l22=225．
为比较l1，l2的大小，我们采用如下方法：
∵l12-l22=25+25π2-225=25π2-200=25（π2-8）＞0．
∴l12＞l22，所以l1＞l2，
小明认为应选择路线2较短．
（1）问题类比：
小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1厘米，高AB为5厘米．”继续按前面的路线进行计算．请你帮小明完成下面的计算：
路线1：l12=AC2=______；
路线2：l2=AB+BC=______，l22=______．
∵l12______l22，∴l1______l2（填“＞”或“＜”）
∴小亮认为应选择路线______（填1或2）较短．
（2）问题拓展：
请你帮小明和小亮继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r厘米时，高为h厘米，蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C，
路线1：l12=______；
路线2：l22=______．
当[r/h]满足什么条件时，选择的路2最短？请说明理由．
（3）问题解决：
如图（3）为2个相同的圆柱紧密排列在一起，高为5厘米，当圆柱的底面半径r（厘米）=
[10π2−4
扶摇半夏 1年前 已收到1个回答 举报
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dudu456 幼苗

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解题思路：（1）由阅读材料，可知路线1：l12=AC2=AB2+BC2=高2+底面周长一半2；路线2：l22=（高线AB+底面直径BC）2；将数据代入即可求出l12、l22的值，再运用差比法即可得出l1＜l2；
（2）先根据阅读材料用含h、r的代数式分别表示l12、l22，再由l12＞l22列出关于h、r的不等式，解不等式即可求解；
（3）先根据阅读材料将h=5代入，用含r的代数式分别表示l12、l22，再由l12=l22列出关于r的方程，解方程即可．

（1）如图（2）．
∵圆柱的底面半径为1厘米，高AB为5厘米，
∴路线1：l12=AC2=AB2+BC2=25+π2；
路线2：l2=AB+BC=5+2=7，l22=（AB+BC）2=49．
∵l12-l22=25+π2-49=π2-24＜0，
∴l12＜l22，
∴l1＜l2，
∴选择路线1较短；

（2）如图（2）．
∵圆柱的底面半径为r厘米，高为h厘米，
∴路线1：l12=AC2=AB2+BC2=h2+（πr）2=h2+π2r2，
路线2：l22=（AB+BC）2=（h+2r）2，
∴l12-l22=h2+（πr）2-（h+2r）2=r（π2r-4r-4h）=r[（π2-4）r-4h]；
∵r恒大于0，
∴当（π2-4）r-4h＞0，即
r/h]＞
4
π2−4时，l12＞l22，即此时选择的路2最短；

（3）如图（3），圆柱的高为5厘米．
l12=AC2=AB2+BC2=25+（2πr）2，
l22=（AB+BC）2=（5+4r）2，
由题意，得25+（2πr）2=（5+4r）2，
解得r=
10
π2−4．
即当圆柱的底面半径r为
10
π2−4厘米时，蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的两条线段相等．
故答案为：25+π2，7，49，＜，＜1；h2+π2r2，（h+2r）2；
10
π2−4．

点评：
本题考点： 平面展开-最短路径问题．

考点点评： 本题考查了平面展开-最短路径问题，比较两个式子的大小，通常利用差比法，这里让这两个式子的平方相减．同时考查了学生的阅读理解能力，知识的迁移能力及分析问题解决问题的能力．

1年前

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