解: 将D按第一列分拆 D = D1 + D2 a^2 a a^-1 1 a^-2 a a^-1 1 b^2 b b^-1 1 + b^-2 b b^-1 1 c^2 c c^-1 1 c^-2 c c^-1 1 d^2 d d^-1 1 d^-2 d d^-1 1 第一个行列式D1的第1,2,3,4各行分别乘a,b,c,d, 因为 abcd=1, 所以 D1 = a^3 a^2 1 a b^3 b^2 1 b c^3 c^2 1 c d^3 d^2 1 d 交换列(奇数次) = -1 乘 1 a a^2 a^3 1 b b^2 b^3 1 c c^2 c^3 1 d d^2 d^3 第二个行列式D1的第1,2,3,4各行分别乘a^2,b^2,c^2,d^2, 因为 abcd=1, 所以 D2 = 1 a^3 a a^2 1 b^3 b b^2 1 c^3 c c^2 1 d^3 d d^2 交换列(偶数次) = 1 a a^2 a^3 1 b b^2 b^3 1 c c^2 c^3 1 d d^2 d^3 所以 D = D1+D2 = 0.