（2014•济南二模）已知函数f（x）=ax+[1/x]+（1-a）lnx．

（Ⅰ）当a=2时，f（x）=2x+[1/x]-lnx，f′（x）=2-[1
x2-
1/x]，
∴f（1）=3，f′（1）=0，
∴曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y=3．
（Ⅱ）f′（x）=a-[1
x2+
1−a/x]=
ax2+(1−a)x−1
x2 （x＞0），
①当a=0时，f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增；
若a≠0，f′（x）=
ax2+(1−a)x−1
x2=0，解得x=1或x=-[1/a]，
②当-1＜a＜0时，f（x）在（0，1）和（-[1/a]，+∞）单调递减，在（1，-[1/a]）单调递增；
③当a=-1时，f（x）在（0，+∞）单调递减；
④当a＜-1时，f（x）在（0，-[1/a]）和（1，+∞）单调递减，在（-[1/a]，1）单调递增；
（Ⅲ）当f（x）=ax时，[1/x]=（1-a）lnx=0，∴a=[1/xlnx]+1 （0＜x＜1），
令g（x）=[1/xlnx]+1 （0＜x＜1），g′（x）=
−(lnx+1)
(xlnx)2=0，解得x=[1/e]．
∴当x=[1/e]时，g（x）有极大值1-e，
∴实数a的取值范围是（-∞，1-e）．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题主要考查利用导数研究曲线的切线问题及判断函数的单调性求极值问题，考查转化划归思想及分类讨论思想的运用能力，属难题．