（2013•青浦区一模）设直线L1：y=k1x+p，p≠0交椭圆Γ：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）于C、D两点，交
（2013•青浦区一模）设直线L1：y=k1x+p，p≠0交椭圆Γ：
+
=1（a＞b＞0）于C、D两点，交直线L2：y=k2x于点E．
（1）若E为CD的中点，求证：k1•k2＝−
；
（2）写出上述命题的逆命题并证明此逆命题为真；
（3）请你类比椭圆中（1）、（2）的结论，写出双曲线中类似性质的结论（不必证明）．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（1）若E为CD的中点，求证：k1•k2＝−
| b2 |
| a2 |
（2）写出上述命题的逆命题并证明此逆命题为真；
（3）请你类比椭圆中（1）、（2）的结论，写出双曲线中类似性质的结论（不必证明）．
赞 踏雪飞鸿001 春芽
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解题思路：（1）设点作差，利用点差法，结合E为CD的中点，即可证明结论；
（2）写出逆命题，证法一，直线方程与椭圆方程联立，利用条件及中点坐标公式，即可得到结论；证法二，利用点差法证明；
（3）利用类比的方法，即可得到结论．
（2）写出逆命题，证法一，直线方程与椭圆方程联立，利用条件及中点坐标公式，即可得到结论；证法二，利用点差法证明；
（3）利用类比的方法，即可得到结论．
（1）证明：设C（x1，y1）D（x2，y2）E（x0，y0），则
x12
a2+
y12
b2＝1 (1)，
x22
a2+
y22
b2＝1 (2)
两式相减得
(x1−x2)(x1+x2)
a2+
(y1−y2)(y1+y2)
b2＝0
即
2x0(x1−x2)
a2+
2y0(y1−y2)
b2＝0…（3分）
∴k1＝
y1−y2
x1−x2＝
−b2•x0
a2•y0＝−
b2
a2•k2
∴k1•k2＝−
b2
a2…（7分）
（2）逆命题：设直线L1：y=k1x+p交椭圆Γ：
x2
a2
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的关系；命题的真假判断与应用．
考点点评： 本题考查直线与椭圆、双曲线的位置关系，考查点差法的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确运用点差法是关键．
1年前
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