（2010•徐汇区一模）设函数f(x)＝x+ax+1， x∈[0，+∞)．

解题思路：（1）当a=2时，将函数f（x）变形成f(x)＝x+

2

x+1

＝x+1+

2

x+1

−1，然后利用均值不等式即可求出函数f（x）的最小值；
（2）先取值任取0≤x₁＜x₂然后作差f（x₁）-f（x₂），判定其符号即可判定函数f（x）在[0，+∞）上的单调性．

（1）当a=2时，f(x)＝x+
2
x+1＝x+1+
2
x+1−1．（2分）
≥2
2−1．（4分）
当且仅当x+1＝
2
x+1，即x＝
2−1时取等号，
∴f(x)min＝2
2−1．（6分）
（2）当0＜a＜1时，任取0≤x₁＜x₂f(x1)−f(x2)＝(x1−x2)[1−
a
(x1+1)(x2+1)]．（8分）
∵0＜a＜1，（x₁+1）（x₂+1）＞1，
∴1−
a
(x1+1)(x2+1)＞0．（10分）
∵x₁＜x₂，∴f（x₁）＜f（x₂），即f（x）在[0，+∞）上为增函数．（12分）

点评：
本题考点： 函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．

考点点评： 本题主要考查了函数的最值的求解，以及函数单调性的判断与证明，同时考查了计算能力，属于基础题．