worinidema
幼苗
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楼上1的证明也太麻烦了,直接用复合函数求导就可以!
第2题仍然有问题.
1. 证明:假设f(x)为奇函数,且f(x)在实数域上可导,那么对于任何的x,由于:
f(x)+f(-x)=0,
两边求导得到:
f'(x)-f'(-x)=0,即
f'(x)=f'(-x).
因此对于任何的x,f'(x)=f'(-x).因此f'(x)为偶函数.
假设f(x)为偶函数,且f(x)在实数域上可导,那么对于任何的x,由于:
f(x)=f(-x)
两边求导得到
f'(x)=-f'(-x)
即f'(x)+f'(-x)=0对任意实数x成立.所以f'(x)是奇函数.
证毕.
2.如果f'(x)为偶函数,则对于任意的实数x,f'(x)=f'(-x).
对任意的实数k>0,两边求定积分,得到:
∫_0^k(f'(x))dx=∫_0^k(f'(-x))dx
因此f(k)-f(0)=f(0)-f(-k).
但是做到这里已经发现题目不对了.
反例:如果f(x)=x^3+1,那么f'(x)=3x^2为偶函数,但是f(0)=1.
这样改题目也不对!
反例:如果f(x)=x^3+x,那么f'(x)=3x^2+1.所以f'(x)是偶函数,但是f'(0)=1
1年前
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