（2009•东城区一模）设x1，x2是函数f(x)＝a3x3+b2x2−a2x(a＞0)的两个极值点，且|x1-x2|=

解题思路：（I）对函数求导可得，f′（x）=ax²+bx-a²，由题意可得x₁，x₂是方程的两根，根据方程的根与系数的关系可得x₁+x₂，x₁•x₂，而|x1−x2|＝

(x1+x2)2−4x1x2

，代入可求
（II）由（I）可得b²=4a²-4a³，构造函数g（a）=4a²-4a³，利用导数知识求函数g（a）的单调区间及最值，而b²≤g（a）_max，即可．

（Ⅰ）对f（x）求导可得f'（x）=ax²+bx-a²（a＞0）．（2分）
因为x₁，x₂是f（x）的两个极值点，所以x₁，x₂是方程f'（x）=0的两个实根．
于是x1+x2＝−
b
a，x1x2＝−a，
故|x1−x2|2＝(x1+x2)2−4x1x2＝
b2
a2+4a＝4，
即b²=4a²-4a³．（4分）
由b²≥0得4a²-4a³≥0，解得a≤1．a＞0，
所以0＜a≤1得证．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b²=4a²-4a³，设g（a）=4a²-4a³，
则g'（a）=8a-12a²=4a（2-3a）．（8分）
由g'（a）＞0⇒0＜a＜
2
3；g'（a）＜0⇒
2
3＜a≤1．（10分）
故g（a）在a＝
2
3时取得最大值[16/27]，
即b2≤
16
27，
所以|b|≤
4
3
9．（13分）

点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件．

考点点评： 本题是函数的导数的简单运用，熟练运用导数的知识解决问题，要求考生熟练掌握基本知识，灵活转化问题，还要具备一定的逻辑推理的能力．