已知f（x）是定义在R上不恒为0的函数，且对于任意的a，b∈R有f（ab）=af（b）+bf（a）．

解题思路：（1）由f（x）是定义在R上不恒为0的函数，且对于任意的a，b∈R有f（ab）=af（b）+bf（a）．令a=b=0，能求出f（0）；令a=b=1，能求出f（1）．
（2）由f（x）的定义域为R，令a=-1，b=x，则f（-x）=-f（x）+xf（-1），再令a=-1，b=-1，得f（-1）=0，由此能得到f（x）是奇函数．
（3）当ab≠0时，

f(ab)

ab

＝

f(a)

a

+

f(b)

b

，令g(x)＝

f(x)

x

，则g（ab）=g（a）+g（b），由此入手，能够求出符合题意的最小正整数n的值．

（1）令a=b=0，则f（0）=0；令a=b=1，则f（1）=f（1）+f（1）⇒f（1）=0…（3分）
（2）∵f（x）的定义域为R，令a=-1，b=x，则f（-x）=-f（x）+xf（-1），
再令a=-1，b=-1，则f（1）=-f（-1）-f（-1）=-2f（-1）=0⇒f（-1）=0，
故f（-x）=-f（x），即f（x）是奇函数…（7分）
（3）当ab≠0时，
f(ab)
ab＝
f(a)
a+
f(b)
b
令g(x)＝
f(x)
x，即f（x）=xg（x），则g（ab）=g（a）+g（b）⇒g（aⁿ）=ng（a）
故f（aⁿ）=aⁿg（aⁿ）=naⁿg（a）=na^n-1•ag（a）=na^n-1f（a）⇒
f(an)
n＝an−1f(a)，
故
f(2−n)
n＝(
1
2)n−1f(
1
2)，∵f(1)＝f(2×
1
2)＝2f(
1
2)+
1
2f(2)＝2f(
1
2)+1＝0，∴f(
1
2)＝−
1
2，
由
f(2−n)
n＞−
1
8(n∈N*)⇔(
1
2)n−1f(
1
2)＞−
1
8⇔(
1
2)n＜
1
8⇔n＞3
故符合题意的最小正整数n的值为4．…（12分）

点评：
本题考点： 抽象函数及其应用；奇偶性与单调性的综合．

考点点评： 本题考查函数值的求法，考查函数奇偶性的判断与证明，考查满足条件的最小正整数的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．