设函数f（x）=loga（x-3a）（a＞0，且a≠1），当点P（x，y）是函数y=f（x）图象上的点时，点Q（x-2a

解题思路：（1）设点Q的坐标为（x'，y'），利用x'=x-2a，y'=-y，转化x=x'+2a，y=-y'．通过点P（x，y）在函数y=log_a（x-3a）图象上，代入即可得到函数y=g（x）的解析式；
（2）通过x∈[a+2，a+3]，求出|f（x）-g（x）|的最大值，利用最大值≤1，即可确定a的取值范围；
（3）利用把y=g（x）的图象向左平移a个单位得到y=h（x）的图象，求出h（x）的解析式，通过函数F（x）=2a^1-h（x）-a^2-2h（x）+a^-h（x），（a＞0，且a≠1）求出F（x）的不等式，通过二次函数在[

1

4

，4]的最大值为[5/4]，求a的值．

（本小题满分12分）
（1）设点Q的坐标为（x'，y'），则x'=x-2a，y'=-y，即x=x'+2a，y=-y'．
∵点P（x，y）在函数y=log_a（x-3a）图象上
∴-y'=log_a（x'+2a-3a），即y′＝loga
1
x′−a
∴g(x)＝loga
1
x−a
（2）由题意x∈[a+2，a+3]，则x-3a=（a+2）-3a=-2a+2＞0，[1/x−a＝
1
(a+2)−a＞0．
又a＞0，且a≠1，∴0＜a＜1，|f(x)−g(x)|＝|loga(x−3a)−loga
1
x−a|＝|loga(x2−4ax+3a2)|
∵|f（x）-g（x）|≤1∴−1≤loga(x2−4ax+3a2)≤1，r（x）=x²-4ax+3a²对称轴为x=2a
∵0＜a＜1∴a+2＞2a，则r（x）=x²-4ax+3a²在[a+2，a+3]上为增函数，
∴函数u(x)＝loga(x2−4ax+3a2)在[a+2，a+3]上为减函数，
从而[u（x）]_max=u（a+2）=log_a（4-4a）．
[u（x）]_min=u（a+3）=log_a（9-6a），
又0＜a＜1，则

loga(9−6a)≥−1
loga(4−4a)≤1]
∴0＜a≤
9−
57
12
（3）由（1）知g(x)＝loga
1
x−a，而把y=g（x）的图象向左平移a个单位得到y=h（x）的图象，则h(x)＝loga
1
x＝−logax，
∴F(x)＝2a1−h(x)−a2−2h(x)+a−h(x)＝2a1+logax−a2+2logax+alogax＝2ax−a2x2+x，
即F（x）=-a²x²+（2a+1）x，又a＞0，且a≠1，F（x）的对称轴为x＝
2a+1
2a2，又在[
1
4，4]的最大值为[5/4]，
①令[2a+1
2a2＜
1/4⇒a2−4a−2＞0⇒a＜2−
6(舍去)或a＞2+
6]；此时F（x）在[
1
4，4]上递减，∴F（x）的最大值为F(
1
4)＝
5
4⇒−
1
16a2+
1
4(2a+1)＝
5
4⇒a2−8a+16＝0⇒a＝4∉(2+
6，+∞)，此时无解；
②令[2a+1
2a2＞4⇒8a2−2a−1＜0⇒−
1/4＜a＜
1
2]，又a＞0，且a≠1，∴0＜a＜
1
2；此时F（x）在[
1
4，4]上递增，∴F（x）的最大值为F(4)＝
5
4⇒−16a2+8a+4＝
5
4⇒a＝
1±4
2
4，又0＜a＜
1
2，∴无解；
③令
1
4≤
2a+1
2a2≤4⇒

a2−4a−2≤0
8a2−2a−1≥0⇒

2−
6≤a≤2+
6
a≤−
1
4或a≥
1
2且a＞0，且a≠1
∴
1
2≤a≤2+
6且a≠1，此时F（x）的最大值为F(
2a+1
2a2)＝
5
4⇒−a2
(2a+1)2
4a4+
(2a+1)2
2a2＝
5
4⇒
(2a+1)2
4a2＝
5
4⇒a2−4a−1＝0，
解得：a＝2±
5，又
1
2≤a≤2+
6且a≠1，∴a＝2+
5；
综上，a的值为2+
5．

点评：
本题考点： 函数恒成立问题；函数的图象与图象变化；函数解析式的求解及常用方法；绝对值不等式的解法．

考点点评： 本题考查函数的解析式的求法，坐标变换，函数的最值的应用，函数恒成立问题，二次函数闭区间上的最值问题的求解，综合知识点多，难度较大．