（2008•宁德）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8厘米，点D在AC上，CD=3厘米．点P、Q分别由A、C
（2008•宁德）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8厘米，点D在AC上，CD=3厘米．点P、Q分别由A、C两点同时出发，点P沿AC方向向点C匀速移动，速度为每秒k厘米，行完AC全程用时8秒；点Q沿CB方向向点B匀速移动，速度为每秒1厘米．设运动的时间为x秒（0＜x＜8），△DCQ的面积为y1平方厘米，△PCQ的面积为y2平方厘米．（1）求y1与x的函数关系，并在图2中画出y1的图象；
（2）如图2，y2的图象是抛物线的一部分，其顶点坐标是（4，12），求点P的速度及AC的长；
（3）在图2中，点G是x轴正半轴上一点0＜OG＜6，过G作EF垂直于x轴，分别交y1、y2的图象于点E、F．
①说出线段EF的长在图1中所表示的实际意义；
②当0＜x＜6时，求线段EF长的最大值．
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解题思路：（1）已知了CD=3，根据Q点的速度可以用时间x表示出CQ的长，可根据三角形的面积计算公式得出y1，x的函数关系式；
（2）可先求出y2的函数式，然后根据其顶点坐标来确定k的取值．已知了P点走完AC用时8s，因此AC=8k，而AP=kx，CQ=x，那么可根据三角形的面积公式列出关于y2，x的函数关系式，进而可根据顶点坐标求出k的值；
（3）EF其实就是y2-y1，也就是三角形PCQ和CDQ的面积差即三角形PDQ的面积．得出EF的函数关系式后，根据自变量的取值以及函数的性质即可求出EF的最大值．
（2）可先求出y2的函数式，然后根据其顶点坐标来确定k的取值．已知了P点走完AC用时8s，因此AC=8k，而AP=kx，CQ=x，那么可根据三角形的面积公式列出关于y2，x的函数关系式，进而可根据顶点坐标求出k的值；
（3）EF其实就是y2-y1，也就是三角形PCQ和CDQ的面积差即三角形PDQ的面积．得出EF的函数关系式后，根据自变量的取值以及函数的性质即可求出EF的最大值．
（1）∵S△DCQ=[1/2]•CQ•CD，CD=3，CQ=x，
∴y1=[3/2]x（0＜x＜8）．图象如图所示；
（2）S△PCQ=[1/2]•CQ•CP，CP=8k-xk，CQ=x，
∴y2=[1/2]×（8k-kx）•x=-[1/2]kx2+4kx．
∵抛物线顶点坐标是（4，12），
∴-[1/2]k•42+4k•4=12．
解得k=[3/2]．
则点P的速度每秒[3/2]厘米，AC=12厘米；
（3）①观察图象，知线段的长EF=y2-y1，表示△PCQ与△DCQ的面积差（或△PDQ面积）．
②由（2）得y2=-[3/4]x2+6x．
∴EF=-[3/4]x2+6x-[3/2]x=-[3/4]x2+[9/2]x=-[3/4]（x2-6x+9）+[27/4]=-[3/4]（x-3）2+[27/4]，
∵二次项系数小于0，
∴在0＜x＜6范围，
当x=3时，EF=[27/4]最大．
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 本题是一道涉及二次函数、一次函数、三角形的有关知识且包含动点问题的综合题．
1年前
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