烟雾茶茶花 春芽
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微分方程y″+y=x+cosx对应的齐次微分方程为y''+y=0
特征方程为t2+1=0
解得t1=i,t2=-i
故齐次微分方程对应的通解y=C1cosx+C2sinx
因此,微分方程y″+y=x+cosx对应的非齐次微分方程的特解可设为y*=ax+b+x(csinx+dcosx)
y*'=a+csinx+dcosx+cxcosx-dxsinx
y*''=ccosx-dsinx+ccosx-cxsinx-dsinx-dxcosx
将y*,y*',y*''代入微分方程y″+y=x+cosx消去即可得到:
ax+b+2ccosx-2dsinx=x+cosx
则有:
a=1
b=0
2c=1
-2d=0
即
a=1
b=0
c=
1
2
d=0
所以,非齐次微分方程的特解为y*=x+
1
2xsinx
由于非齐次微分方程的通解=齐次微分方程的通解+非齐次微分方程的特解
所以,微分方程y″+y=x+cosx的通解为y+y*=C1cosx+C2sinx+x+
1
2xsinx.
点评:
本题考点: 求解微分方程
考点点评: 本题考查微分方程的求解.只需牢记非齐次微分方程的通解=齐次微分方程的通解+非齐次微分方程的特解即可.
1年前
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求微分方程(1+x)dx-(1+y)dy=0的通解,求过程😭
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