求微分方程y″-5y′+6y=xe2x的通解．

方程y″-5y′+6y=xe^2x的特征方程为：
λ²-5λ+6=0，
特征根为：λ₁=2，λ₂=3．
因为2是方程的单重特征根，
故方程y″-5y′+6y=xe^2x的特解形式为：
y*=x（Ax+B）e^2x．
代入方程整理可得，-2Axe^2x+（2A-B）e^2x=xe^2x，
因此，

−2A＝1
2A−B＝0⇒A＝−
1
2，B=-1．
故方程的通解为：y＝C1e2x+C2e3x−
x
2(x+2)ex．

点评：
本题考点： 线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数非齐次线性微分方程求解．

考点点评： 本题考查了二阶常系数非齐次线性微分方程的求解，解题中利用了线性微分方程解的结构定理，是一个基础型题目，难度系数不大．二阶常系数微分方程的求解是一个常考知识点，需要熟记非齐次问题的特解形式并熟练掌握其求解方法．