在矩形ABCD 中,AB=√2,BC=2 E点 为 BC的中点,点F在CD边上,且向量DC=√2向量DF,则向量AE*向
在矩形ABCD 中,AB=√2,BC=2 E点 为 BC的中点,点F在CD边上,且向量DC=√2向量DF,则向量AE*向量BF?
赞 敲窗到天明 幼苗
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由题意,|AB|=sqrt(2),|BC|=2
AE=AB+BE=AB+BC/2
BF=BC+CF=BC-FC,又：|DF|=|DC|sqrt(2)/2=1,故：|FC|=|DC|(sqrt(2)-1)/sqrt(2)
=(1-sqrt(2)/2)|DC|,故：BF=BC-FC=BC-(1-sqrt(2)/2)AB
故：AE dot BF=(AB+BC/2) dot (BC-(1-sqrt(2)/2)AB)=AB dot BC+|BC|^2/2
-(1-sqrt(2)/2)|AB|^2-(1-sqrt(2)/4)AB dot BC,因：AB dot BC=0
故：AE dot BF=|BC|^2/2-(1-sqrt(2)/2)|AB|^2=2-2(1-sqrt(2)/2)=sqrt(2)
AE=AB+BE=AB+BC/2
BF=BC+CF=BC-FC,又：|DF|=|DC|sqrt(2)/2=1,故：|FC|=|DC|(sqrt(2)-1)/sqrt(2)
=(1-sqrt(2)/2)|DC|,故：BF=BC-FC=BC-(1-sqrt(2)/2)AB
故：AE dot BF=(AB+BC/2) dot (BC-(1-sqrt(2)/2)AB)=AB dot BC+|BC|^2/2
-(1-sqrt(2)/2)|AB|^2-(1-sqrt(2)/4)AB dot BC,因：AB dot BC=0
故：AE dot BF=|BC|^2/2-(1-sqrt(2)/2)|AB|^2=2-2(1-sqrt(2)/2)=sqrt(2)
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