已知a＞0,函数f（x）=ax-bx2．当0＜b≤1时,讨论：对任意x∈[0,1],|f（x）|≤1的充要条件．

这里用x=1代入的做法是有问题的，应该讨论f(x)在[0,1]的最大值M，而因为已经证明了 f(x)≥-1, 所以|f(x)|≤1当且仅当 f(x)≤1 当且仅当M≤1，由此得出结论来。

这道题叙述起来有点复杂了，完整的讨论应该是这样的： 前面已经证明了： 在给定条件下，f(x)≥-1 总是成立的，因此下面只要讨论 f(x)≤1 成立的条件： (1) 如果x=a/(2b)∈[0,1] , 则f(x) 当x=a/(2b)时达到最大值，而 f[a/(2b)]=a^2/(4b)=b[a/(2b)]^2≤b≤1 (2) 如果a/(2b)>1, 则 f(x) 当x=1 时达到最大值 而f(1)=a-b, 所以此时 f(x)≤1 当且仅当 a-b≤1, 即a≤b+1 现在要利用这两条综合出一个统一的f(x)≤1的充要条件来： 先来说明： a≤b+1=>|f(x)|≤1 在a≤b+1的条件下，有两种情况：(i) a/(2b)≤1, 此时由（1）知f(x)≤1 (ii) a/(2b)>1, 此时由（2）知f(x)≤1， 因此总有f(x)≤1, 因而也有 |f(x)|≤1 这就说明了 a≤b+1是|f(x)|≤1成立的充分条件。 再来说明 |f(x)|≤1=>a≤b+1 在|f(x)|≤1 当且仅当 f(x)≤1, 由(1)(2)知道，要么 a/(2b)≤1， 要么a≤b+1 而 a/(2b)≤1=>a≤2b=b+b≤b+1, 因而总有 a≤b+1 这就说明了a≤b+1是|f(x)|≤1成立的必要条件。