三角形方面的证明题如图,C为线段AE上一动点（不与点A,E重合）,在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE,AD与
三角形方面的证明题
如图,C为线段AE上一动点（不与点A,E重合）,在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连结PQ．
证明：PQ‖AE
如图,C为线段AE上一动点（不与点A,E重合）,在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连结PQ．
证明：PQ‖AE
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连OC
易证DE‖CB
∴∠DEB=∠EBC （1）
同样易证△ACD≌△BCE
∴∠DAC=∠CBE （2）,∠CDA=∠CEB
∴A、C、O、B四点共圆,C、E、D、O四点共圆
∴∠DEO=∠DCO （3）
∴∠BOC=180°-∠BAC=120°,∠DOC=120°
∴∠BOD=360°-∠BOC-∠COD=120°=∠POQ
显然∠BCD=60°
∠POQ+∠PCQ=180°
∴P、O、Q、C四点共圆
∴∠OPQ=∠OCQ （4）
结合（1）（2）（3）（4）可得
∠OAE=∠OPQ
∴PQ‖AE
易证DE‖CB
∴∠DEB=∠EBC （1）
同样易证△ACD≌△BCE
∴∠DAC=∠CBE （2）,∠CDA=∠CEB
∴A、C、O、B四点共圆,C、E、D、O四点共圆
∴∠DEO=∠DCO （3）
∴∠BOC=180°-∠BAC=120°,∠DOC=120°
∴∠BOD=360°-∠BOC-∠COD=120°=∠POQ
显然∠BCD=60°
∠POQ+∠PCQ=180°
∴P、O、Q、C四点共圆
∴∠OPQ=∠OCQ （4）
结合（1）（2）（3）（4）可得
∠OAE=∠OPQ
∴PQ‖AE
1年前
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