设函数f（x）=ax2+lnx．

解题思路：（Ⅰ）当a=-1时，求出函数式及导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程，即可得到切线方程；
（Ⅱ）求出导数f′（x），求得单调区间，得到极大值，也为最大值，由题意令它小于-[1/2]，解出不等式即可；
（Ⅲ）求出当a=1时，f′（x）=2x+[1/x]，记g（x）=f′（x），其中x∈[1，10]，运用导数证明y=f′（x）在[1，10]上递增，又f′（10）=[201/10]．从而得到f′（x₁）+f′（x₂）+f′（x₃）+…f′（x_k）≤k•f′（10）=[201k/10]＜2010．
故不存在k（k＜100）个正数x₁，x₂，x₃…x_k，使得f′（x₁）+f′（x₂）+f′（x₃）+…f′（x_k）≥2013成立．

（Ⅰ）当a=-1时，f（x）=-x²+lnx，f′（x）=-2x+[1/x]，f′（1）=-1，
所以切线的斜率为-1．又f（1）=-1，所以切点为（1，-1）．
故所求的切线方程为：y+1=-（x-1）即x+y=0．
（Ⅱ）f′（x）=2ax+[1/x]=
2a(x2+
1
2a)
x（x＞0，a＜0）．
令f′（x）=0，则x=
−
1
2a．
当x∈（0，
−
1
2a]时，f′（x）＞0；当x∈（
−
1
2a，+∞）时，f′（x）＜0．
故x=
−
1
2a为函数f（x）的唯一极大值点，
所以f（x）的最大值为f（
−
1
2a）=-[1/2]+[1/2]ln（-[1/2a]）．
由题意有-[1/2]+

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评： 本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间，和极值，考查函数的单调性的运用，属于中档题．