如何求积分区域边界为参数方程的二重积分

如何求积分区域边界为参数方程的二重积分
比如∫∫dσ,区域由x=a(t-sin(t)),y=a(1-cos(t)),0≤t≤π与y=0围成.此题是否可化为X型累次积分,y的范围为0-x' (即∫ydx)?考虑到此题特殊性（y=x'）,若是方程中y≠x'情况下该如何解答呢?
主要积分域的确定（用xoy坐标系表示）比较不懂.

max_ojf 1年前已收到1个回答举报

月会明花朵

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此题可以先积y,y的范围是0→y(x),积完后：
∫[0→2πa] y(x) dx
但是现在这个积分没法做了,因为y(x)这个函数的具体表达式不清楚,所以这里要换元,将变量换成 t 才能继续做.
这个题不要考虑x'=y,这样做题时会出麻烦,因为这个求导是对 t 求的,就算要考虑它,也是换完元后再考虑.
希望可以帮到你,不明白可以追问,如果解决了问题,请点下面的"选为满意回答"按钮,谢谢.

1年前追问

max_ojf 举报

嗯，那这样，这个积分域怎样确定的呢？

举报月会明

∫[0→2πa]dx∫[0→y] dy =∫[0→2πa] y dx 换元 =a²∫[0→2π] (1-cost) d(t-sint) =a²∫[0→2π] (1-cost)² dt 下面你应该会了吧。

max_ojf 举报

其实这些我还是会的，主要是确定dx的积分域这部分有点搞不清楚。咦？好像是求x=a(t-sin(t))在t定义域内的最大最小值么？

举报月会明

对，就是求这个最大最小值。这个函数是单调的，所以你取t=0和t=π这两个点就行了，我上面好象写错了，写成2π了。

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