1道 【初 二】 数 学 题 ．如图,在等腰Rt△ABC与等腰Rt△DBE中, ∠BDE=∠ACB=90°,且

（1）延长DE交AC与点H,连FH、FD、FC,根据题目设BE在AB边上,证明如下：
在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=∠BAC=45°,BC=AC.
在等腰Rt△DBE中,∠BDE=90°,∠DBE=∠DEB=45°,DE=DB.
∠DBC=∠DBE+∠ABC=45°+45°=90°,四边形DBCH是矩形,DH=BC,∠DHC=∠DHA=90°,∠AEH=∠DEB=45°,△AEH是等腰Rt△.
在等腰Rt△AEH中,F是斜边AE的中点,∠EHA=90°,∠HAE=∠HEA=∠FHE=45°,DE=DB,AF=FE=FH,∠AFH=90°.
在△AFC和△HFD中,CA= HD,∠BAC=45°,∠FHD=∠FHE=45°,AF=FH,
△AFC全等于△HFD,有FC=FD,∠DFH=∠CFA=∠CFH+∠AFH,而∠DFH=∠CFH+∠DFC,∠DFC=∠AFH=90°,△DFC是等腰Rt△.
在等腰Rt△DFC中,G是斜边CD的中点,FG=DG=GC=1/2DC
∴FG与DC的位置关系是（垂直）,FG与DC的数量关系是（1：2）.


（2）若将△BDE绕B点逆时针旋转180°,其它条件不变,画出完成图为图中彩色部分.根据题目设BE在AB边上,绕B点逆时针旋转180°变成AB的延长线上,分别延长ED和 AC交点H,连FH、FD、FC.证明如下：
在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=∠BAC=45°,BC=AC.
在等腰Rt△DBE中,∠BDE=90°,∠DBE=∠DEB=45°,DE=DB.
∠DBC=180-∠DBE-∠ABC=180-45°-45°=90°,∠BDH=180-∠BDE=90°,∠BCH=180-∠ACB=90°,四边形DBCH是矩形,CH=BD.
由∠AHE =90°,∠AEH=∠EAH=45°,△AEH是等腰Rt△.
在等腰Rt△AEH中,F是斜边AE的中点,∠HAE=∠HEA=∠FHA=45°,AF=FE=FH,∠AFH=90°.
在HFC和△EFD中,ED=BD=CH,∠FED=45°,∠FHA =45°,FE=FH,
△HFC全等于△EFD,有FC=FD,∠EFD=∠HFC=∠AFH-∠AFC=90°-∠AFC,而∠DFC=180-∠AFC-∠EFD=180-∠AFC-（90°-∠AFC）=90°,△DFC是等腰Rt△.
在等腰Rt△DFC中,G是斜边CD的中点,FG=DG=GC=1/2DC
∴FG与DC的位置关系是（垂直）,FG与DC的数量关系是（1：2）.

延长辅助线

题目好长啊！

真的好难啊