（14分）已知抛物线 经过A(3，0), B(4，1)两点，且与y轴交于点C．

（1）（3分）将A(3,0),B(4,1)代人
得
∴
∴
∴C(0,3)
(2)(7分)假设存在，分两种情况，如图.
①连接AC,
∵OA="OC=3," ∴∠OAC=∠OCA=45 ^O . ……1分
过B作BD⊥ 轴于D，则有BD=1，
,
∴BD="AD," ∴∠DAB=∠DBA=45 ^O .
∴∠BAC=180 ^O -45 ^O -45 ^O =90 ^O ……………2分
∴△ABC是直角三角形. ∴C(0,3)符合条件.
∴P ₁ (0,3)为所求.
②当∠ABP=90 ^O 时,过B作BP∥AC,BP交抛物线于点P.
∵A(3,0),C(0,3)
∴直线AC的函数关系式为
将直线AC向上平移2个单位与直线BP重合.
则直线BP的函数关系式为
由 ,得
又B(4,1), ∴P ₂ (-1,6).
综上所述,存在两点P ₁ (0,3), P ₂ (-1,6).
另解②当∠ABP=90 ^O 时, 过B作BP∥AC,BP交抛物线于点P.
∵A(3,0),C(0,3)
∴直线AC的函数关系式为
将直线AC向上平移2个单位与直线BP重合.
则直线BP的函数关系式为
∵点P在直线 上，又在 上.
∴设点P为
∴
解得
∴P ₁ (-1,6), P ₂ (4,1)(舍)
综上所述,存在两点P ₁ (0,3), P ₂ (-1,6).
(3)(4分) ∵∠OAE=∠OAF=45 ^O ,而∠OEF=∠OAF=45 ^O ,
∠OFE=∠OAE=45 ^O ,
∴∠OEF=∠OFE=45 ^O ,
∴OE="OF," ∠EOF=90 ^O
∵点E在线段AC上,
∴设E
∴
=
∴
=
=
=
∴当 时, 取最小值,
此时 ,
∴

略