南山樵夫99
幼苗
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解题思路:(1)分别求出特征三角形是腰长为a 和底边长为2c,从而得到椭圆的相似比.
(2)设出椭圆C
b的方程,直线l
MN的方程,根据两点关于直线对称的性质,求出直线l
MN的方程,根据直线l
MN与椭圆C
b有两个不同的交点,判别式大于零,求得实数b的取值范围.
(3)作法:过原点作直线y=kx(k≠1),交椭圆M和椭圆M
λ于点E和点F,则△CDF和△ABE即为所求相似三角形,且相似比为λ.
(1)椭圆C2与C1相似. 因为椭圆C2的特征三角形是腰长为a=4,底边长为2c=4
3的等腰三角形,
而椭圆C1的特征三角形是腰长为2,底边长为2
3的等腰三角形,因此两个等腰三角形相似,且相似比为2.
(2)椭圆Cb的方程为:
x2
4b2+
y2
b2=1(b>0),
设lMN:y=-x+t,点M(x1,y1),N(x2,y2),MN中点为(x0,y0),
则
y=−x+t
x2
4b2+
y2
b2=1,所以5x2-8tx+4(t2-b2)=0,则x0=
x1+x2
2=
4t
5,y0=
t
5.
因为中点在直线y=x+1上,所以有 [t/5=
4t
5+1,t=−
5
3],即直线lMN的方程为:lMN:y=−x−
5
3,
由题意可知,直线lMN与椭圆C
点评:
本题考点: 直线与圆锥曲线的综合问题.
考点点评: 本题考查直线和圆锥曲线的位置关系,两点关于直线对称的性质,求直线MN的方程是解题的难点.
1年前
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