过抛物线y 2 =4x的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点．
| 过抛物线y 2 =4x的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点． （1）求AB的中点C到抛物线准线的距离； （2）求线段AB的长． |
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（1）抛物线y 2 =4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=-1，
直线AB的方程为y=x-1，
设点A（x 1 ，y 1 ）、B（x 2 ，y 2 ）．
将y=x-1代入y 2 =4x得x 2 -6x+1=0．
则x 1 +x 2 =6，x 1 •x 2 =1．
故中点C的横坐标为3．
所以中点C到准线的距离为3+1=4．
（2）∵|AB| 2 =（x 1 -x 2 ） 2 +（y 1 -y 2 ） 2 =（x 1 -x 2 ） 2 +[（x 1 -1）+（x 2 -1）] 2 =2（x 1 -x 2 ） 2
=2[（x 1 +x 2 ） 2 -4x 1 x 2 ]=2（36-4）=64
∴|AB|=8．
直线AB的方程为y=x-1，
设点A（x 1 ，y 1 ）、B（x 2 ，y 2 ）．
将y=x-1代入y 2 =4x得x 2 -6x+1=0．
则x 1 +x 2 =6，x 1 •x 2 =1．
故中点C的横坐标为3．
所以中点C到准线的距离为3+1=4．
（2）∵|AB| 2 =（x 1 -x 2 ） 2 +（y 1 -y 2 ） 2 =（x 1 -x 2 ） 2 +[（x 1 -1）+（x 2 -1）] 2 =2（x 1 -x 2 ） 2
=2[（x 1 +x 2 ） 2 -4x 1 x 2 ]=2（36-4）=64
∴|AB|=8．
1年前
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