某元件的寿命服从指数分布,平均寿命1000小时,求3个这样的元件使用了1000小时,至少已有一个损坏的概率.

原件服从指数分布设参数为λ,则其概率密度函数为f(x)=λe^(-x) 分布函数为F(x)=1-e^(-λx)
其均值EX=1/λ=1000
于是参数λ=1/1000=0.001
某个原件使用在1000小时内损坏的概率即
P(X≤1000)
=F(1000)-F(0)
=1-e^(-0.001×1000) - (1-e^0)
=1-1/e
第二步求3个原件至少损坏1个的概率
3个原件相当于做了3次贝努力试验,n=3
每次损坏的概率为1-1/e p=1-1/e
至少损坏一个不容易求,转求逆事件--没有损坏 k=0
于是 3个原件都没损坏的概率
P(X=0)=p^k ×q^(n-k) =p^0 × (1-p)³=1×(1-(1-1/e))³=1/e³
于是所求3个原件至少损坏1个的概率
P(X≥1)=1-P(X=0)=1-1/e³