为什么在统计学中寿命服从指数分布而不是正态分布呢?

首先先想象一下一条直线上有w个不重合的点（X1到Xw）,每个点代表事件的发生.点xi到xi+1的距离叫事件xi+1发生所用的时间（1≤i＜i+1≤w）,那么就可以算出来总时间T,那么单位时间内事件发生的次数为λ=w/T.然后把这条直线分成n份 n→∞,要求每一份只存在一个或0个点,那么每份出现点（或者事件发生）的概率为p=W/n=λT/n
让随机变量X代表事件的总数,那么X属于二项分布
则p（x=k）=C（n,k）p^k×（1-p）^（n-k）
n→∞ np为定值这种二项分布可以用poisson 分布函数来简算
C（n,k）p^k×（1-p）^（n-k）=e^(-np)×（np）^k/k!
又知道p=λT/n
则p（x=k）=e^(np)×（np）^k/k!=e^(-λT)×（λT）^k/k!
在这些点有一点xj代表一个人的出生xj+1代表这个人的死亡.随机变量Y代表xj到xj+1的距离也就是寿命： 若在距离xj y的这段时间里没有出现xj+1说明
在y的这段时间里此人没出事即p（X=0）=e^(-λy)×（λy）^0/0!=e^(-λy) [ 注意y替代的是T]也就等同于下一点xj+1发生所需要的时间大于y的概率为p（Y＞y）=e^(-λy) 也就是P（Y≤y）=F（y）=1-e^(-λy)
那么对y微分即得密度函数f（y）=F‘（y）=λe^(-λy) , y＞0 □
另外最明显的就是随机变量寿命一定是大于0的（y＞0）,而正态分布随机变量是（-∞,∞）
在应用上指数函数期望E（Y）= 1/λ, 所以通过技术手段和经验你预计这个人活多少岁,参数λ直接取其倒数就行了,有了λ就可以算出来这个人多少岁多少岁之前挂掉或者多少岁到多少岁之间挂掉的概率.
类似的比如一台洗衣机你可以调查一下以前的1000名客户使用时间取其平均值作为你的期望μ=1/1000×∑yi,
然后取其倒数就是λ的值,这样就可以算出来这台洗衣机能用5年以上的概率,10年以下的概率等等,等等.